Triangle rectangle - Corrigé

Énoncé

Soit `z \in \mathbb{C} \setminus \mathbb{R}` .  Dans le plan complexe, on considère les points   \(\text A(z) , \text B(\overline{z})\)  et \(\text C(\dfrac{z-\overline{z}}{2})\) .  Montrer que \(\text A\text B\text C\)  est rectangle en  \(\text B\) .

Solution

\(\dfrac{z_\text B - z_\text A}{z_\text C -z_\text A} = \dfrac{\overline{z} - z}{\frac{z-\overline{z}}{2} -z} = \dfrac{\overline{z} - z}{-\frac{1}{2} (\overline{z}+z)}\)

Or, \(\overline{z} - z = -(z - \overline{z}) = -2i \text I\text m(z)\)

et \(\overline{z}+z = 2 \text R\text e(z)\)

donc \(-\dfrac{1}{2} (\overline{z}+z) = - \dfrac{1}{2} \times 2 \text R\text e(z) = - \text Re(z)\)

donc \(\dfrac{z_\text B - z_\text A}{z_\text C -z_\text A} = \dfrac{-2i \text I\text m(z)}{-\text R\text e(z)} = \dfrac{2 \text I\text m(z)}{\text R\text e(z)} i \in i \mathbb{R}\)

donc  \(\text A\text B\text C\)  est  rectangle    en  \(\text B\) .